Меню сайта
Категории раздела
Друзья сайта
Статистика
Онлайн всего: 10
Гостей: 10
Пользователей: 0
| Главная » Статьи » Реферати » Технічні науки |
РЕФЕРАТ НА ТЕМУ: Моделювання систем
|
"Моделювання систем" Варіант №27. Завдання. Визначити передавальну функцію замкненої системи згідно варіанту завдання по її структурній схемі і по заданим передавальним функціях її окремих ланок. Дослідити дану систему на стійкість за критерієм Михайлова. К1=0,5 К2=10 К3=15 К4=4 Т1=0,8 Т3=1 Т4=0,8 Т5=0,5 Розв’язок. 1. Щоб визначити передавальну функцію систему проводимо ряд перетворень: Замінимо ланки W4(p) і W5(p) на одну Wе1(p) Замінимо ланку W2(p) із зворотнім зв’язком на еквівалентну Wе2(p) Замінимо ланки W3(p) і Wе1(p) на одну Wе3(p) Замінимо ланки W1(p), Wе2(p) і Wе3(p) на одну W(p) В одержану формулу підставимо значення 2. Дослідимо дану систему на стійкість за критерієм Михайлова. 1) З отриманої передавальної функції запишемо характеристичний поліном 2) Зробимо заміну p=jw де j2 =-1 3) Запишемо отриманий вираз у вигляді дійсної і уявної частини w | 0 | 1 | 2 | 3 P(w) | 1 | -19.7 | -33.8 | 102.7 jQ(w) | 0 | -5.1 | -114.6 | -432.9 4) Будуємо годограф Михайлова 1.1 ЧАСТОТНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ АВТОМАТИЧНИХ СИСТЕМ Передавальна функція є первинним матеріалом для подальших розрахунків в тих випадках, коли властивості всіх елементів системи задані диференціальними рівняннями. Часто процеси, що проходять в окремих ланках системи, недостатньо вивчені і одержати вихідні рівняння для них важко. В таких випадках доцільно використовувати частотні характеристики системи, їх можна не тільки побудувати за лінеаризованими рівняннями окремих елементів, але й знайти експериментально. Частотні характеристики дають можливість вивчати реакції системи на гармонійні впливи. Елемент системи може бути показаний у такому вигляді (рис. 4.1): Xm – амплітуда вхідного сигналу; Ym – амплітуда вихідного сигналу; – зсув фаз між ними Рисунок 4.1 – Елемент системи автоматичного керування Величина амплітуди вихідного сигналу залежить від амплітуди вхідного сигналу і від параметрів самої системи (рис. 4.2). Якщо параметри системи невідомі, то відносне значення амплітуди і зсуву фаз залежать від частоти . Залежність називається амплітудно-частотною характеристикою (АЧХ), а залежність фазо-частотною характеристикою (ФЧХ). Вигляд таких характеристик наступний (рис. 4.3): Рисунок 4.2 – Графік зміни в часі вхідного x(t) і вихідного y(t) сигналів Рисунок 4.3 – Загальний вигляд АЧХ і ФЧХ Перевагою цих характеристик є те, що вони можуть бути одержані експериментальним шляхом. Для цього на вході системи повинен бути включений генератор Г, а на виході – аналізатор спектра АС. За допомогою АС на виході системи визначаються параметри вихідного сигналу . На основі АЧХ і ФЧХ можна отримати характеристику системи, яка називається амплітудно-фазовою характеристикою (АФХ). АФХ будується в комплексній площині (рис. 4.4). В комплексній площині вектор цієї характеристики будується таким чином, що кут з горизонтальною віссю є (), а сам вектор – A(). Кінець вектора A() при зміні від 0 до описує траєкторію, яка називається амплітудно-фазовою характеристикою (АФХ). Рисунок 4.4 – Амплітудно-фазова характеристика Проекція вектора АФХ на дійсну вісь називається дійсною частиною АФХ. Проекція вектора АФХ на уявну вісь називається уявною частиною АФХ. При побудові АФХ відкладається проти годинникової стрілки, якщо його значення додатне, і за годинниковою стрілкою, якщо його значення від'ємне. Взаємозв'язок між АЧХ і ФЧХ може бути виражений наступним чином . Рисунок 4.5 – Елемент системи автоматичного керування Переваги АФХ: Вона може бути одержана експериментально. Її отримують із передавальної функції шляхом підстановки замість : АФХ – це відношення зображення за Фур'є вихідної величини Y до зображення за Фур'є вхідної величини Х при нульових початкових умовах. Оскільки , то та . Тоді . Наприклад: Маємо передавальну функцію , треба побудувати АФХ. Для того, щоб знайти АФХ, потрібно замінити нa . . Для того, щоб розділити дійсну і уявну частини, потрібно поміняти місцями складові в знаменнику і домножити чисельник і знаменник на спряжений вираз . Підставляючи значення від 0 до , будують логарифмічні частотні характеристики ЛЧХ. Для цього використовують вираз для АФХ, яка дорівнює . Прологарифмуємо цей вираз: . Рисунок 4.6 – АФХ, що відповідає передавальній функції Майже завжди користуються не натуральним логарифмом, а десятковим, тоді використовують позначення . Особливістю цих характеристик є те, що логарифмічну амплітудну і фазову характеристики будують в логарифмічному масштабі. При цьому користуються такими одиницями, як октава і декада. Побудовані в логарифмічному масштабі характеристики називають діаграмами Боде. Октавою називають відрізок осі , який міститься між довільним і подвоєним значенням . Неважко побачити, що довжина цього відрізка дорівнює . Декадою називають відрізок осі , який міститься між довільним значенням і його десятикратним значенням . Наприклад: Елемент системи автоматики має передавальну функцію . Знаходимо АФХ: . Даний вираз невигідний в зв'язку з тим, що в знаменнику знаходиться . Домноженням чисельника і знаменника на j знаходимо АФХ . Побудуємо характеристику в логарифмічному масштабі. Для цього визначаємо АЧХ (рис. 4.7). Рисунок 4.7 – Логрифмічна АЧХ В зв'язку з тим, що по верхній осі значення відкладається в децибелах, то при підрахунку потрібно використати перетворення . Тоді рівняння логарифмічної амплітудно-частотної характеристики (ЛАЧХ) можна записати у такому вигляді: . Використаємо це рівняння: нам потрібно побудувати саму характеристику. Для цього необхідно задатись різними значеннями : Нехай: Рисунок 4.8 – Логарифмічна ФЧХ За видом ЧХ елементи ділять на: мінімальнофазові; немінімальнофазові. Мінімальнофазові – це елементи і системи, у яких всі нулі і полюси передавальної функції мають від'ємні або нульові дійсні частини. Ці елементи створюють мінімальний додатковий зсув фаз. Якщо є хоча б один додатний корінь, то це – немінімальнофазова система. Часові, передавальні і частотні характеристики однозначно зв'язані між собою прямим і зворотним перетвореннями Лапласа і Фур'є. Ці взаємні зв'язки зведені в табл. 4.1. Таблиця 4.1 – Взаємні зв'язки динамічних характеристик Характеристики | h(t) | (t) | W(p) | W(j) Перехідна h(t) | 1 Імпульсна (t) | 1 Передавальна W(p) | 1 Частотна W(j) | 1 1.2 ТИПОВІ ВХІДНІ СИГНАЛИ І РЕАКЦІЯ НА НИХ ЛІНІЙНИХ ОБ'ЄКТІВ Різноманітність умов роботи автоматичних систем визначає різноманітність сигналів і впливів у системі. В теорії керування прийнято користуватись певною класифікацією сигналів і типовими впливами. Залежно від закономірності зміни в часі сигнали розділяють на регулярні (детерміновані) та нерегулярні (випадкові). Регулярні сигнали змінюються в часі за певним законом і можуть бути описані конкретною математичною формулою (рис. 3.1). Рисунок 3.1 – Регулярний сигнал Нерегулярні сигнали змінюються в часі випадковим чином і не можуть бути подані у вигляді конкретної математичної формули (рис. 3.2). Якщо значення регулярного або випадкового сигналу визначається в кожний момент часу, то такий сигнал називається неперервним (рис. 3.3). Якщо значення сигналу задані лише в деяких проміжках часу, то такий сигнал називається дискретним (рис. 3.4). При дослідженні автоматичних систем і їх елементів користуються стандартними сигналами, які називаються типовими впливами. Рисунок 3.2 — Нерегулярний сигнал Рисунок 3.3 — Неперервний сигнал Рисунок 3.4 — Дискретний сигнал Таблиця 3.1 – Типові вхідні сигнали Назва функції | Аналітичний вираз | Графічне зображення | Область використання 1 | 2 | 3 | 4 Одинична ступінчата функція | Функція Хевісайда | х(t)=0 при t<0 х(t)=1 при t0 | Аналіз автоматичних систем: стабілізуючих, програмних, слідкуючих Імпульсна одинична функція (-функція) | S= 1/=1 | Для аналізу систем, що працюють з ударним навантаженням Одинична синусоїдальна функція | Ії амплітуда повинна бути стандартна | В системі керу-вання з гармонійними збурю-ючими впливами в слідкуючих програмних системах стабілізації Лінійний типовий вплив | В системах з плавною зміною збурюючих впливів Експоненціально-одиничний вплив | Для досліджен-ня слідкуючих систем 1 | 2 | 3 | 4 Одиничний багатоступінчатий вплив | Коли збурюючий вплив має ступінчатий послідовний характер Ці впливи описуються простими математичними формулами і легко відтворюються при випробуванні систем. Найбільш наочне уявлення про динамічні властивості елемента дає його перехідна функція. Перехідною функцією називається зміна вихідної величини в часі після подачі на вхід одиничного ступінчатого впливу при нульових початкових умовах. Перехідна функція задається графічно або формулою. Рисунок 3.5 – Графічне зображення перехідної функції Формульний вираз перехідної функції можна одержати, якщо розв'язати диференційне рівняння при . Ці умови означають, що вихідна величина і її похідні до -го порядку безпосередньо перед подачею вхідного впливу рівні 0. Перехідна функція має дві складові: вимушену і вільну : . Вимушена складова дає частковий розв'язок рівняння при ступінчатому впливі. Вона дорівнює усталеному значенню вихідної величини при . Вільна складова, знаходиться з розв'язку однорідного диференційного рівняння , де – корені характеристичного рівняння, – сталі інте- грування, які залежать від початкових умов. Для лінійних систем, крім принципу суперпозиції, справедливе загальне правило: Реакція на неодиничний ступінчатий вплив дорівнює добутку перехідної функції на коефіцієнт а: . Другою динамічною характеристикою, яка використовується при аналізі системи, є імпульсна перехідна функція . Імпульсною перехідною функцією називають зміну вихідної величини , яка виникає після подачі на вхід -функції. Якщо вхідний вплив являє собою неодиничний імпульс, то ординати вихідної функції будуть в а разів більші імпульсної перехідної функції . Імпульсна перехідна функція то зв'язана з перехідною функцією і дорівнює . Перехідна функція може бути визначена і як інтеграл . Риcунок 3.6 – Графічне зображення імпульсної перехідної характеристики За допомогою імпульсної перехідної функції можна визначити реакцію елементів на вхідний вплив повільного вигляду. Існує зв'язок між вхідною і вихідною величинами в часі. Цей зв'язок може бути встановлений за допомогою інтегралу згортки, або інтегралу Дюамеля . Наприклад: знайдемо функцію для елемента, який описується диференційним рівнянням . Усталене значення вихідної величини, тобто вимушена складова, досягається при і при . При цих умовах одержимо , або . Вільна складова , де р – корінь характеристичного рівняння . Тоді . Враховуючи значення , одержимо . Шукаємо постійну інтегрування С. При попереднє рівняння має вигляд . Тоді Передавальні функції елементів і систем автоматики одержують на основі використання перетворень Лапласа. Перетворенням Лапласа називається перетворення функції у функцію за допомогою інтегралу . Позначення: – пряме перетворення; – зворотне перетворення. Перетворення Лапласа дозволяє перейти від дійсної змінної до комплексної змінної . В математиці сформульовані наступні основні властивості перетворення, котрі застосовують в теорії автоматичного керування. Таблиця 3.2 – Основні властивості перетворення Лапласа Назва | Оригінал | Зображення 1. Лінійність | ах(р) 2. Правило диференціювання 3. Правило інтегрування 4. Зміна масштабу часу 5. Зміщення аргументу оригіналу 6. Зміщення аргументу зображення 7. Правило добутку зображень 8. Теорема про початкове значення оригіналу 9. Теорема про кінцеве значення оригіналу Наприклад: Розглянемо зображення найпростіших функцій часу. Таблиця 3.3 – Зображення найпростіших функцій часу Функція | Х(t) | X(p) 1. -функція | (t) | 1 2. Ступінчата 3. Експонентна 4. Синусоїда 5. Косинусоїда 6. Степенева функція Тепер елемент може бути показаний в такому вигляді: X(t) – вхідна величина; Y(t) – вихідна величина Рисунок 3.7 – Елемент системи керування Залежність між вхідними і вихідними величинами описується диференційними рівняннями з постійними коефіцієнтами Звичайно в реальних системах показник . Припустимо, що перетворимо це рівняння за Лапласом . Передавальною функцією лінійної стаціонарної автоматичної системи називається відношення зображення за Лапласом вихідної величини до зображення за Лапласом вхідної величини при нульових початкових умовах , . Висновок: Для того, щоб знайти передавальну функцію лінійної стаціонарної системи, необхідно: Лінійне диференціальне рівняння перетворити за Дапласом з урахуванням початкових умов. Взяти відношення вихідної і вхідної величин, перетворених за Лапласом. Наприклад: визначити лінійної стаціонарної системи, яка описується рівнянням: . , . Перехідну функцію можна визначити на підставі співвідношень і . , , . Таким чином, щоб знайти вираз для , необхідно взяти зворотний вираз Лапласа від : . Якщо вхідний вплив -функція, то враховуючи, що перетворення Лапаласа від , одержимо , тоді функція . Висновок: Імпульсна перехідна функція є оригіналом передавальної функції . | |
| Просмотров: 236 | Рейтинг: 0.0/0 |
| Всего комментариев: 0 | |