РЕФЕРАТ НА ТЕМУ:Вища математика - Інше - Реферати - Каталог статей

ПЛАН 1. Предмет і методи математики Від античності до ХIХ століття існувала загальна одностайність по питанню про те, що є основними об’єктами математики: це — числа, змінні величини, функції та фігури, якi вивчаються у відповідних її розділах: арифметиці, алгебрі, аналізі, геометрії. Тому й загально прийняте до недавнього часу означення математики мало вигляд: “Математика — це наука, що вивчає просторові форми та кiлькiснi співвідношення реального світу”. В цілому розвиток математики треба розуміти насамперед як результат взаємодії логіки її предмета, відображеної у внутрішній логіці самої математики, впливу виробництва і зв'язків з природознавством. Цей розвиток відбувається складними шляхами боротьби протилежностей, охоплюючи істотні зміни в основному змісті й формах математики. За змістом розвиток математики визначається її предметом, але спонукається він в основному і в кінцевому підсумку потребами виробництва. Така основна закономірність розвитку математики. Чиста математика має своїм об'єктом просторові форми і кількісні відношення дійсного світу, отже — дуже реальний матеріал. Той факт, що цей матеріал набирає надзвичайно абстрактної форми, може лише слабо затушувати його походження із зовнішнього світу. Але щоб бути спроможним дослідити ці форми і відношення в чистому вигляді, треба цілком відокремити їх від їхнього змісту, залишити цей останній осторонь як щось неістотне; таким шляхом ми дістаємо точки, позбавлені вимірів, лінії, позбавлені товщини й ширини, різні а і b, x і у, постійні і змінні величини, і лише в самому кінці ми доходимо до продуктів вільної творчості і уяви самого розуму, а саме — до мнимих величин. Перш ніж прийти де думки виводити форму циліндра з обертань прямокутника навколо однієї з його сторін, треба було дослідити певну кількість реальних прямокутників та циліндрів, хоча б і в дуже недосконалих формах. Як і всі інші науки, математика виникла з практичних потреб людей: з вимірювання площ земельних ділянок і місткості посудин, з обчислення часу та з механіки. Але, як і в усіх інших галузях мислення, закони, абстраговані від реального світу, на певному ступені розвитку відриваються від реального світу, протиставляться йому як щось самостійне, як закони, що з'явились іззовні, з якими світ повинен узгоджуватись. Так було з суспільством і державою, так, а не інакше, чиста математика застосовується згодом до світу, хоч вона взята з цього самого світу і тільки виражає частину властивих йому форм зв'язків,— і якраз тільки тому і може взагалі застосовуватись. До чистої математики належать ті дисципліни, які розглядають кількість, повністю абстраговану від матерії і фізичних аксіом. Цих дисциплін дві — геометрія і арифметика. Перша розглядає неперервну кількість, друга—дискретну. Подати зміст математики — це завдання непосильне; сказати, що це наука про величини та їх взаємні відношення, це буде лиш невелика частина, яка не вичерпує її змісту, бо ж до математики — побіч чисел і геометричних величин, побіч величин неперервних і дискретних — входить і наука про комбінаторику, і про групи, і вищі числа і їх комплекси, і про вищі простори і т. д., до яких назву величини можна прикладати лиш з деякими застереженнями. Зміст математики постійно змінюється. Це природний процес, бо в міру вивчення природи, розвитку техніки, економіки й інших галузей знання виникають нові задачі, для розв'язування яких недостатньо попередніх математичних понять і методів дослідження. Виникає потреба далі вдосконалювати математичну науку, розширювати арсенал її засобів дослідження. Математика — це мова плюс міркування, це наче мова й логіка разом. Математика — знаряддя для міркування. У ній сконцентровані результати точного мислення багатьох людей. Прийняте в XX ст. означення математики як науки про нескінченне слід би замінити іншим, яке правильніше відображає її суть як науки про співвідношення скінченого і нескінченного. Г. Кантор в 1883 р. проголосив, що “математика повністю вільна в своєму розвитку i її поняття пов’язані лише необхідністю бути непротирічними та узгодженими з поняттями, введеними раніше засобами точних означень”. Перегляд евклідової геометрії завершив розповсюдження та популяризацію цих ідей. Відтоді признається, що насправді геометрія не залежить від геометричних сутностей і являє собою чисте вивчення відношень між ними. Цю концепцію Д. Гiльберт розвинув до логічного завершення, підкресливши, що самі назви основних понять математичної теорії можна вибрати довільно. (Згідно відомої легенди, Д. Гiльберт проілюстрував цю ідею словами: “…можна було б, нічого не змінюючи в геометрії, слова “крапка”, “пряма” та “площина” замінити словами “стіл”, “стілець” та “пивна пляшка”). В математиці з’являється хвиля нових об’єктів: мнимості Галуа, ідеальні числа Кумера, комплексні числа та кватерніони, n-вимірні простори, полівектори, тензори тощо, а також такі “патологічні” об’єкти як: криві без дотичних, побудовані Больцано та Вейерштрасом, неевклідові геометрії і тому подібне. Таким чином, до 1900 року в математиці в основному викристалізувалося поняття нового на той час математичного об’єкту — “математичної структури”, яке в наступні роки розвинулось в сформовану теорію. Основною задачею математиків при побудові нових математичних об’єктів було проведення доведень теорем та інших положень, що складали, власне, теорію цих об’єктів. Враховуючи це, група видатних математиків, що виступали під псевдонімом Нiкола Бурбакн дали таке означення: “Математика — це наука, що вивчає математичні структури”. Тоді можна сказати, що предметом математики є об’єкти математики (математичні структури) та задача доведення їх властивостей. Математика, що є найдавнішою з усіх наук, разом з тим лишається завжди молодою наукою, яка бурхливо розвивається, яка весь час розширює галузі свого пізнання, яка все ширше розвиває свої зв'язки не тільки з природничими науками, а й з найрізноманітнішими галузями людської діяльності. Винятково плодотворний розвиток чистої математики в наш час дає змогу дивитися з оптимізмом і ентузіазмом у майбутнє, в якому наука збиратиме багатий урожай плодів математичного поля. Помилковим є уявлення про математику як про науку викінчену, раз назавжди побудовану в своїх теоретичних основах. Насправді математика збагачується цілком новими теоріями й перебудовується у відповідь на нові запити механіки (нелінійні коливання, механіка надзвукових швидкостей), фізики (математичні методи квантової фізики) та інших суміжних наук. 2. Зв’язок математики з природознавством і економікою Історія розвитку будь-якої науки показує, що вона стає точною після того, як її головні критерії і основні закономірності дістають кількісне, математично сформульоване вираження. Економічна наука не є винятком. Економіка ніколи не обходилась без арифметики, починаючи із статистики, яка дає змогу кількісно аналізувати економічні процеси в минулому, і закінчуючи перспективним планом, цифри якого розкривають речовий вартісний зміст майбутніх років життя держави й суспільства. У нашій дійсності виникають, а в недалекому майбутньому дедалі частіше виникатимуть різні економічні проблеми, для розв'язання яких буде потрібне широке використання різноманітних математичних методів. Математика серйозно збагатила теоретичний арсенал планування, розробивши методи економіко-математичного моделювання, системного аналізу та інші. Треба ширше використовувати ці методи, швидше створювати галузеві автоматизовані системи управління, маючи на увазі, що в перспективі ми повинні створити загальнодержавну автоматизовану систему збирання й обробки інформації. Є багато прикладів того, якими прийомами користується політична економія при розв'язанні своїх завдань. Ці прийоми математичні. Інакше й бути не може, бо предмет науки — кількості, які підлягають рахунку й мірі, зрозумілі тільки через обчислення й вимірювання. К. Маркс бачив у математиці серйозний і дуже цінний допоміжний засіб економічного аналізу. Зокрема, свою схему розширеного відтворення К. Маркс оформив у вигляді алгебраїчного рівняння для простого відтворення й математичної нерівності—для розширеного відтворення. Математизація полягає не тільки в тому, що та чи інша галузь знання починає застосовувати вже готові математичні методи й результати, а в тому, що починаються пошуки того математичного апарату (можливо, й неіснуючого ще), який би найповніше в даній обстановці давав змогу описати широке коло явищ, які її цікавлять. Коли в організації виробництва з'явилась потреба шукати прийоми, що дають можливість оптимально використовувати наявні ресурси, виявилася необхідність побудови нових математичних теорій — лінійного і нелінійного програмування, з одного боку, і теорії масового обслуговування,—з другого. Великого значення набуває нині економічна кібернетика — наука про те, як найдоцільніше управляти економікою великого підприємства, галузі, всього народного господарства. При розв'язанні цих та багатьох інших питань управління економікою, оптимального її планування виникають складні задачі з великою кількістю вихідних даних. Розв'язати їх неможливо без використання потужних електронно-обчислювальних машин. Сучасний етап розвитку обчислювальної техніки відкрив для математики, для способів обробки інформації нове поле діяльності, зробив їх значно ефективнішими. Ось чому можливості використання математики принципово якісно розширилися. Завдяки цьому багато які наукові дисципліни легко перейшли з дитячого віку у вік зрілості, якщо, як і раніше, ми будемо вважати можливість використання математики мірилом рівня розвитку дисципліни. Це стосується насамперед економіки. Створення електронно-обчислювальних машин, які підвищили в мільйони разів обчислювальні можливості людини, стимулює спроби застосування математичних методів в описових науках, наприклад в економіці, біології, медицині, геології, і нині ми знаходимося, очевидно, на етапі перетворення економіки в точну науку. Використання математики в економіці відкриває нові можливості перед нашою наукою. Економіко-математичні моделі, які відображають господарчу ситуацію, дають змогу імітувати розвиток економічних систем, проводити модельні експерименти, передбачаючи економічні й соціальні наслідки реалізації тих чи інших розв'язань, вибрати, нарешті, найкращий варіант з великої кількості можливих. Я вже не говорю про те, що праця з економіко-математичними моделями дуже дисциплінує дослідника, вимагає від нього чіткої постановки економічних завдань, уміння виділити істотні ознаки того чи іншого економічного процесу й записати їх у вигляді рівнянь і нерівностей, упорядковано зібрати й оцінити необхідну інформацію і т. д. І це органічне злиття змістовного економічного аналізу з логічним математичним мисленням дасть можливість, очевидно, розв'язати найважчі проблеми економічної науки. Великі мислителі XVII і XVIII століть, з одного боку, вчили, що проникнути в Природу можна лише за допомогою експерименту, а з другого боку, створили прекрасні математичні засоби, які дають змогу інтерпретувати результати цього проникнення. Дослідники XIX століття зуміли плодотворно використати ці думки, спорудивши одну з найчарівніших будов, відомих в історії науки. Математика — це вчення про природу в найчистішому його вигляді. Математика для вченого — те саме, що скальпель для анатома: найнеобхідніший інструмент, без якого неможливе проникнення в суть речей... Ті, хто спробує йти вперед без цього знаряддя, змушені будуть залишитися на порозі. Математика неодмінно повинна входити в усі галузі природознавства; кількісні визначення надзвичайно важливі, майже завжди невідривні від якісних. Математика вносить в природознавство логіку. Математика є кращий і навіть єдиний можливий вступ до вивчення природи. У природознавстві основні поняття загальних законів мають бути визначені з граничним ступенем точності, а це можливо тільки за допомогою математичної абстракції. Історія кристалографії є прикладом того, як одні й ті самі ідеї виникають і розвиваються паралельно в математиків і в природодослідників і як обидві категорії дослідників, що мають спочатку дуже приблизне уявлення один про одного, на пізнішій стадії розвитку теорії об'єднують свої зусилля. Роль природодослідника зводиться в основному до постановки нових проблем і знаходження їх розв'язань. Математик не тільки сприяє глибшому розумінню розв'язання, знайденого природодослідником, а й істотно узагальнює первісну постановку проблеми. З появою ЕОМ почали широко розроблятися методи чисельних прогнозів погоди в багатьох країнах. Нині в світовій науці чисельні методи прогнозів атмосферних явищ як на короткий, так і на тривалий строк вважаються дуже важкими, але все-таки найбільш перспективними. Розвиток математики завжди відбувався у тісному зв'язку з природознавством і технікою. Запровадження математичних методів перетворює галузі знання і не лише ставить їх на вищий ступінь логічного мислення, а й відкриває нові можливості, нові постановки задач, дає змогу по-новому дивитися на явища. Досить згадати, які революційні принципові зрушення в розвитку природознавства дали аналіз нескінченно малих, теорія імовірностей, теорія операторів і, нарешті, в наш час пізнання логічних процесів, яке бурхливо розвивається. Математика завжди впливала на розвиток природничих наук і науково-технічний прогрес кожної епохи. Причому вплив математики здійснювався і здійснюється звичайно через побудову математичних моделей. Створення цих моделей у різних галузях показало велике значення цього методу пізнання якісних законів природи для успішного розвитку найважливіших напрямів досліджень. Математика необхідна природознавству, оскільки вона дає змогу дістати нові результати, наперед зовсім не очевидні, хоч у рідкісних випадках вони можуть бути вгадані інтуїтивно. 3. Характерні риси математичного моделювання Історія виникнення моделювання (у своєму первісному понятті) як методу пізнання навколишнього світу сягає корінням, напевно, ще “в сиву давнину”, коли людина почала вперше застосовувати форми-моделi для виготовлення виробів з бронзи та дорогоцінних металів за допомогою лиття. Археологи датують ці події III тис. до нашої ери. В подальшому, поруч з такими методами наукового пізнання, як спостереження, аналіз, експеримент тощо, моделювання міцно увійшло в актив інженерів та науковців. Одним з перших застосувань ідеї моделювання було фізичне моделювання (макетування). Та все ж, експериментуванню з фізичними моделями притаманні суттєві недоліки: виготовлення моделей є подекуди трудомісткою справою і потребує досить багато часу, його вартість велика, методи вимірювання величин, що фігурують в моделі та підлягають визначенню, в основному є неточними, спотворюючими картину досліджень. В міру розвитку і математизації природничих та технічних наук поруч з фізичним моделюванням, тобто дослідженням об’єкта через його матеріальне відтворення, набув розвитку інший шлях — математичне моделювання, при якому спочатку виконується опис об’єкта мовою математики, а потім проводиться дослідження саме цього опису — математичної моделі, знову ж таки, методами математики, тобто шляхом застосуванням певних математичних перетворень над математичною моделлю фізичного об’єкта. Такий підхід до дослідження технічних об’єктів виявився дуже плідним і досить універсальним в силу абстрактності мови математики. Універсальність дослідження реальних технічних систем за допомогою математичних моделей пов’язана, в першу чергу, з обмеженістю кількості видів базових математичних структур, що виникають при цьому як математичні моделі. Ця можливість багаторазового застосування одного й того ж математичного поняття до аналізу найрізноманітніших технічних задач робить надзвичайно цінною його абстрактне трактування. Математична модель фізичного об’єкта (технічної системи) — це математична структура, елементи якої тлумачаться як iдеалiзованi реальні фізичні об’єкти, а абстрактні відношення між ними — як конкретні зв’язки між елементами фізичного об’єкта. Така модель дозволяє скласти компактний перелік властивостей об’єкта, аналізувати і прогнозувати ці властивості, а значить, як наслідок — і поведінку фізичного об’єкта. Подальша деталізація поняття математичної моделі пов’язана з розглядом тих чи інших моделей на різних епiстемологiчних (пізнавальних) рівнях, тобто різних ступенях деталізації. Тут також потрібно звернути увагу на те, що термін математичне моделювання в літературі використовується в широкому та вузькому значенні слова. В широкому значенні моделювання — це метод пізнання (дослідження), що включає в себе побудову моделі, її подальший аналіз та інтерпретацію отриманих результатів, у вузькому — лише метод складання моделі (зокрема, наприклад, ідентифікація), а іноді навіть — лише метод її аналізу. Іноді про це говорять іншими словами: існують пряма та обернена задачі моделювання, тобто аналіз моделі та її синтез. Задача аналізу моделі, фактично, зводиться до тієї чи іншої проблеми, що характеризує даний клас математичних структур. Задача синтезу полягає в тому, що необхідно за відомими результатами аналізу або вимірювань побудувати модель (визначити параметри моделі та її структуру). У загальному випадку в процесі підготовки та проведення математичного моделювання виділяють такі етапи: 1. абстрагування: зосередження на властивостях, які є загальними для багатьох об’єктів чи ситуацій матеріального світу, та відволікання від існуючих між ними відмінностей; 2. представлення: вибір деякої множини засобів (символів, графічних образів тощо) для зображення абстрактних понять; представлення використовується також як засіб спілкування; 3. маніпуляція: правила перетворення символьного представлення як засіб передбачення результату аналогічних маніпуляцій в реальному свiтi; 4. інтерпретація: зворотний процес до формалізації; 5. аксiоматизацiя: строге формулювання тих властивостей, якi були виведені з реального світу і якi є загальними при маніпуляціях як в матеріальному свiтi, так і над абстрактними символами, що представляють реальний світ. Перший та частково другий етапи відносяться до процесу формалізації задач, другий та третій — власне до моделювання задач, тобто до формування моделей, їх перетворення та аналізу, п’ятий — до обґрунтування методів моделювання і підготовки “плацдарму” для їх подальшого розвитку, удосконалення. На останніх етапах робиться спроба сконцентрувати основні фактичні відомості про об’єкти чи ситуації, якi охоплюються цим абстрактним поняттям, в декількох коротких, але потужних аксіомах і потім (маючи на увазі істинність аксіом) строго довести, що висновки, отримані в результаті маніпуляцій з цими абстрактними представленнями, є справедливими і для прообразів реального світу. Детальний опис вказаних складових частин математичного моделювання і складає теорію математичного моделювання. 4. Роль математики на сучасному етапі розвитку суспільства Математика вивчає просторові форми і кількісні відношення, наприклад, який-небудь предмет. Нас може цікавити, яка його густина, міцність, теплопровідність. Ф. Енгельс так описав зміст математики: “Чиста математика має своїм об’єктом просторові форми і кількісні відношення дійсного світу.” Математика, як наука сформувалася в Стародавній Греції в VII-IIIст. До нашої ери, коли Фалес, Піфагор, Евклід та інші вчені систематизували відомі на той час математичні знання і викладали їх з точним обґрунтуванням. Тоді ж виникло і слово “математика”, яке в перекладі з грецької означає “знання”, “наука”. Звичайно, математика існувала ще в доелiнський період, але не виходила тоді за рамки арифметики та геометрії. Про це свідчать рiзноманiтнi документи, якi збереглися з часів Вавилону, Халдеї та Стародавнього Єгипту. В тi часи математика виникла з потреб практики, мала за мету задовольняти ці потреби (в землеробстві, торгівлі тощо), і, тим самим, носила прикладний характер. З часів древніх греків в математиці або в її складових частинах, що розвивалися тоді такими науками як логіка, риторика та натурфілософія, почали вестися дослідження, якi не були орієнтовані на практичне застосування, а призначалися лише, так би мовити, для внутрішніх потреб математики. Відтоді за змістом слова “математика” почали часто вбачати (мистецтво) “доведення” певних міркувань. Таким чином, відбувся розподіл науки математики на дві галузі, за якими сьогодні закріпилися назви “чистої” (англ. “pure”) та “прикладної” математики (англ. “applied” mathematics). Один з провідних математиків сучасності професор Д’єдоне в своїй праці, що була опублікована в 1964 році в журналі “Philosophia Mathematic” так характеризує специфіку чистої математики: “Вивчення математичних проблем поступово приводить нас до введення понять, якi є значно більш абстрактними, ніж ідеї числа або формули, і закінчує повним абстрагуванням від світу відчуттів. Ці нові поняття природно призводять до нескінченної множини задач, для вирішення яких ми повинні вводити нові поняття, якi є ще більш абстрактними. Рій цих понять нестримно росте, віддаляючись все далi від початку математики в природі, та відводячи математиків все більше і більше від проблем, якi поставлені фізиками або інженерами… Тому можна сказати, що, в принципі, сучасна математика в основі своїй немає якої-небудь утилітарної мети, а являє собою інтелектуальну дисципліну, практична користь якої зводиться до нуля. Проте може трапитись так, що абстрактні ідеї одного разу знайдуть несподіване “застосування”. Все ж таки, математик в своїх дослідженнях ніколи не керується думкою про ступінь корисності отриманих результатів в майбутньому (що, між іншим, i неможливо передбачити), скоріше він керується бажанням проникнути в розуміння математичного явища, що закінчується на собі самому. Без сумніву, ще багато хто навряд чи приймають таку точку зору без вагань. Вони завжди хочуть, щоб математика “служила” кому-небудь, їх шокує думка, що математика — це не більше, ніж “розкіш”, яку може дозволити собі цивілізація… Математики просто хочуть, щоб iншi признавали за ними таке ж право “на існування, яке мають, наприклад, астрофізики, палеонтологи та поети”. В зв’язку з нашим контекстом всюди в цій цитаті слова “математика” можна було б замінити на термін “чиста математика”, не ризикуючи змінити суть висловлення. Насправді розподіл математики на чисту та прикладну є умовним. Неможливо провести чіткої межі між цими аспектами математики; як правило, вони взаємозв’язані та збагачують один одного. Та все ж, можна сказати, що в чистій математиці основний акцент робиться на “доведеннях” та “обґрунтуванні” при розгляданні тих чи інших об’єктів математики, в прикладній же — на проведенні певних обчислень, тобто більшою мірою — на отриманні певного розв’язку конкретної задачі, ніж на обґрунтуванні та доведенні існування такого розв’язку. Характерною особливістю сучасного етапу розвитку математики є її тісна плодотворна взаємодія з науками й практичними проблемами, які стосуються безпосередньо людини й суспільства. Попередні її істотні зв'язки з фізикою доповнюються цими новими зв'язками. Тепер математика потрібна всім. Без математичних обчислень не можна побудувати не тільки космічного корабля, електростанції, підводного човна, а й звичайного будинку. Збільшується не тільки кількість наук, які вже не можуть обходитись без математики, а й обсяг математичних знань, використовуваних цими науками. Ось чому так важливо, щоб наша молодь мала ґрунтовну математичну підготовку. Список використаної літератури Барковський В. В., Барковська Н. В. Математика для економістів. Основи елементарної математики. — К., 1999. Бугір М.К. Математика для економістів. – К., 1998. Гнеденко Б. В. Математика и жизнь. — М., 2000. Єгоршин О. О., Малярець Л. М. Тексти лекцій "Математичне програмування курсу "Математика для економістів". — Х., 2001. Зоря А.С., Кіро С.М. Про математику і математиків. – К., 1981.
1 2 3 4 5 Категория: Інше \| Добавил: DoceNt (01.04.2016)
Просмотров: 616 \| Рейтинг: 0.0/0

Всего комментариев: 0


Имя *:
Email *:

Код *: