Реферат на тему Від геометричного методу до аналітичної механіки - Філософія - Реферати - Каталог статей

Реферат на тему Від геометричного методу до аналітичної механіки. План 1. Принцип найменшої дії 2. Принцип Даламбера 3. Аналітична механіка матеріальної точки й динаміка твердого тіла Ейлера 4. Аналітична механіка системи матеріальних точок і тіл Лагранжа У XVIII-XIX ст. багато фізиків і філософів вдавалися до серйозного аналізу й перегляду вчення Ньютона про простір і час. З того часу, як основи класичної механіки" набули завдяки Ньютонові своєї завершеної форми, їх значення продовжувало залишатися предметом суперечок — принаймні до 1905 р. Боротьба розгорталася на найрізноманітніших ділянках науки й життя. Теорія перевірялася в експедиціях, в астрономічних спостереженнях, в обчисленнях математиків, обговорювалася у філософських і наукових дискусіях, викладалася в підручниках і монографіях. Там, де в Ньютона йшлося про абсолютний простір і час, де він посилався при цьому на експерименти, деякі з його послідовників заявляли, що вони не потребують таких гіпотез і навіть доходило до того, що вони зводили його другу аксіому до простого визначення; через це відмінність між математикою і фізикою як експериментальною наукою сильно зміщувалася за рахунок останньої, від якої було відділено так звану чисту механіку. Інші, навпаки, наполягали на істотно експериментальному характері цієї аксіоми. Сторони, які брали участь у цих дуже заплутаних суперечках, намагалися навести численні аргументи на підтримку своїх точок зору. "Начала" Ньютона були викладені важкою геометричною мовою. Доведення були громіздкі та складні. У XVIII ст. в механіку проникають методи диференціального й інтегрального числення, які не наважився застосувати у своїй основній праці один із творців цих методів. У XVIII ст. відбувалися не тільки перетворення методів ньютонівської механіки. Це століття відзначене пошуками загальних принципів механіки, еквівалентних законам Ньютона, або навіть більш загальних, ніж ці принципи. У результаті цих пошуків було відкрито принципи можливих переміщень у статипі, принцип Даламбера й принцип найменшої дії Мопертюї-Ейлера в динаміці. Принцип найменшої дії Історія цього принципу корінням сягає Герона Александрійського, його твердження про найкоротший час поширення світла, за допомогою якого Герой обгрунтував закон відображення. Ферма (1601-1665) застосував цей принцип до заломлення світла й сформулював закон заломлення світла, виходячи з постулату: "Природа діє найбільш легкими й доступними шляхами". Пізніше цю ідею розвинув І. Бернуллі (1667-1748). Він зіставив принцип Ферма із запропонованою ним варіаційною механічною задачею про лінію найкоротшого спуску важкої точки в полі ваги (брахістохрону). Цю задачу Бернуллі сформулював у такий спосіб: "У вертикальній площині дано дві точки: А і В. Визначити траєкторію, рухаючись по якій під впливом власної ваги, тіло М, почавши рухатися з точки А, досягне іншої точки В у найкоротший час". У принципі Ферма й у задачі про брахістохрону мова йде про встановлення мінімального значення інтеграла "Я, - писав І. Бернуллі, - відкрив дивну схожість між кривизною променя світла в середовищі, яке постійно змінюється, і нашою брахістохрониою кривою". Так уперше було помічено оптико-механічну аналогію, що відіграла важливу роль в історії фізики. Надалі цю ідею розвивав стосовно Механіки П. Мюпертюї (1698-1759). У статті "Закон спокою" (1740) він поставив за мету вивести принцип рівноваги системи тіл і сформулював його як екстремальний принцип для деякої величини, яка дістала назву "суми сил спокою". Через чотири роки потому Мопертюї виступив зі статтею "Узгодження різних законів природи", в якій стверджував, що закони оптики є наслідком "метафізичного закону", який полягає в тому, що "природа, реалізуючи свої дії, завжди вдається до найбільш простих засобів" і що принцип Ферма є принципом найменшої дії. Світло, на думку Мопертюї, вибирає шлях, "на якому кількість дії є найменшою". При цьому він пояснює, що слід розуміти під "кількістю дії". "Ця дія, — стверджує Мопертюї, — залежить від швидкості, з якою рухається тіло, і від простору, який долає останнє, але вона не є ні швидкістю, ні простором, узятими окремо. Кількість дії тим більша, чим більша швидкість тіла; вона пропорційна сумі добутків відрізків на швидкість, з якою тіло долає кожний з них". Принцип Ферма-Мопертюї виражається у вигляді твердження: У сучасній редакції принцип Мопертюї стверджує: коли в природі відбувається якась зміна, кількість дії, необхідна для цієї зміни, є найменшою з можливих. Принцип Даламбера Основна праця Ж.Л. Даламбера (1717-1783) — "Трактат про динаміку" — була опублікована в 1743 р. Перша частина трактату присвячена побудові аналітичної статики. Тут Даламбер формулює "основні принципи механіки", серед яких "принцип інерції", "принцип додавання рухів" і "принцип рівноваги". "Принцип інерції" сформульований окремо для випадку спокою і для випадку рівномірного прямолінійного руху. "Силою інерції, — пише Даламбер, т я разом з Ньютоном називаю властивість тіла зберігати той стан, в якому воно перебуває". "Принцип додавання рухів" являє собою закон додавання швидкостей і сил за правилом паралелограма. На основі цього принципу Даламбер вирішує задачі статики. "Принцип рівноваги" сформульовано у вигляді такої теореми: "Якщо два тшщ що рухаються зі швидкостями, оберненопропорційними їхнім масам, мають протилежні напрямки, так що одне тіло не може рухатися, не зрушуючи з місця інше тіло, то ці тіла перебуватимуть у стані рівноваги". У другій частині "Трактату" Даламбер запропонував загальний метод складання диференціальних рівнянь руху будь-яких матеріальних систем, заснований на зведенні задачі динаміки до статики. Він сформулював правило для будь-якої системи матеріальних точок, назване згодом "принципом Даламбера", відповідно до якого прикладені до точок системи сили можна розкласти на "діючі", тобто такі, які спричинюють прискорення системи, і "загублені", необхідні для рівноваги системи. Даламбер вважає, що сили, які відповідають "загубленим" прискоренням, утворюють таку сукупність, яка ніяк не впливає на фактичну поведінку системи. Іншими словами, якщо до системи прикласти тільки сукупність "загублених" сил, то система залишиться в спокої. Сучасне формулювання принципу Даламбера дав М Є. Жуковський у своєму "Курсі теоретичної механіки": "Якщо в який-небудь момент часу зупинити систему, що рухається, і додати до неї, крім її рушійних сил, ще всі сили інерції, що відповідають даному моменту часу, то спостерігатиметься рівновага; при цьому всі сили тиску, натягу й т.д., що розвиваються між частинами системи при такій рівновазі, будуть справжніми силами тиску, натягу й т.д. при русі системи в розглянутий момент часу". Слід зазначити, що сам Даламбер при викладі свого принципу не вдавався ні до поняття сили (вважаючи, що воно не є достатньо чітким, щоб входити в перелік основних понять механіки), ні тим більше до поняття сили інерції. Виклад принципу Даламбера із застосуванням терміна "сила" належить Лагранжу, який у своїй "Аналітичній механіці" дав його аналітичне вираження у формі принципу можливих переміщень. Саме Жозеф Луї Лагранж (1736-1813) і особливо Леонардо Ейлер (1707-1783) відііграли істотну роль в остаточному перетворенні механіки на аналітичну механіку. Аналітична механіка матеріальної точки й динаміка твердого тіла Ейлера Леонардо Ейлер — один з видатних учених, який зробив великий внесок у розвиток фізико-математичних наук у XVIII ст. Його творчість вражає проникливістю дослідницької думки, універсальністю обдарування й величезним обсягом залишеної наукової спадщини. Уже в перші роки наукової діяльності в Петербурзі (Ейлер приїхав у Росію в 1727 р.) він склав програму грандіозного й всеосяжного циклу робіт в галузі механіки. Ця програма міститься в його двотомній праці "Механіка, або наука про рух, викладена аналітично" (1736). "Механіка" Ейлера була першим систематичним курсом ньютонівської механіки. Вона містила основи динаміки точки - під механікою Ейлер розумів наукучхро рух, на відміну від науки про рівновагу сил, чи статики. Визначальною рисою "Механіки" Ейлера було широке використання нового математичного апарата — диференціальнотвчй інтегрального числень. Коротко охарактеризувавши основні праці з механіки, що з'явилися на межі XVII-XVIII ст., Ейлер відзначав син-тетико-геометричний стиль їхнього викладу.що створював для читачів надзвичайно багато труднощів. Саме в такій манері написані "Начала" Ньютона і більш пізня "Фо-рономія" (1716) Я. Германа. Ейлер указує, що роботи Германа і Ньютона викладені "за звичаєм стародавніх за допомогою синтетичних геометричних доведень" без застосування аналізу, "тільки завдяки якому й можна досягти повного розуміння цих речей". Синтетико-геометричний метод не мав узагальнюючого характеру, а вимагав, як правило, індивідуальних побудов стосовно кожної задачі окремо. Ейлер зізнається, що після вивчення "Форономії" і "Начал" він, як йому здавалося, "досить ясно зрозумів вирішення багатьох задач, однак задач, що якоюсь мірою відступають від них, уже розв'язати не міг". Тоді він спробував "виділити аналіз із цього синтетичного методу і ті ж пропозиції для власної користі проробити аналітично". Ейлер відзначає, що завдяки цьому він значно краще зрозумів суть питання. Він розробив принципово нові методи дослідження проблем механіки, створив її математичний апарат і блискуче застосував його до багатьох складних задач. Завдяки Ейлеру диференціальна геометрія, диференціальні рівняння, варіаційне числення стали інструментом механіки. Метод Ейлера, розвинутий пізніше його наступниками, був однозначним й адекватним предмету. Праця Ейлера з динаміки твердого тіла "Теорія руху твердих тіл" має великий вступ із шести розділів, де знову викладено динаміку точки. У вступ внесено ряд змін: зокрема, рівняння руху точки записуються за допомогою проектування на осі нерухомих прямокутних координат (а не на дотичну, головну нормаль і нормаль, тобто осі нерухомого природного тригранника, пов'язаного з точками траєкторії, як у "Механіці"). Наступний після вступу "Трактат про рух твердих тіл" складається з 19 розділів. В основу трактату покладено принцип Даламбера. Коротко зупинившись на поступальному русі твердого тіла і ввівши поняття центра інерції, Ейлер розглядає обертання навколо нерухомої осі й навколо нерухомої точки. Тут подано формули для проекцій миттєвої кутової швидкості, кутового прискорення на осі координат, використовуються так звані кути Ейлера й т.д. Далі викладено властивості моменту інерції, після чого Ейлер переходить, власне, до динаміки твердого тіла. Він виводить диференціальні рівняння обертання важкого тіла навколо його нерухомого центра ваги за умови відсутності, зовнішніх сил і розв'язує їх для найпростішого окремого випадку. Так виникла відома й настільки ж важлива в теорії гіроскопа задача про обертання твердого тіла навколо нерухомої точки. Ейлер працював також над теорією суднобудування, у галузях гідро- та аеромеханіки, балістики, теорії стійкості й теорії малих коливань, небесної механіки й ін. Через вісім років після виходу "Механіки" Ейлер збагатив науку першим точним формулюванням принципу найменшої дії. Формулювання принципу найменшої дії, які належали Мопертюї, були ще дуже недосконалими. Перше наукове формулювання принципу належить Ейлеру. Він сформулював свій принцип у такий спосіб: інтеграл має найменше значення для справжньої траєкторії, якщо розглядати останню в групі можливих траєкторій, що мають загальні початкове й кінцеве положення й здійснюються із тим самим значенням енергії. Ейлер надає своєму принципу точного математичного вираження й строгого обґрунтування для однієї матеріальної точки, що зазнає дії центральних сил. Протягом 1746-1749 pp. Ейлер написав кілька робіт про фігури рівноваги гнучкої нитки, де принцип найменшої дії було застосовано до задач, в яких діють пружні сили. Таким чином, до 1744 р. механіка збагатилася двома важливими принципами: принципом Даламбера й принципом найменшої дії Мопертюї-Ейлера. Спираючись на ці принципи, Лагранж побудував систему аналітичної механіки. Аналітична механіка системи матеріальних точок і тіл Лагранжа Лагранж (1736—1813) остаточно порвав з геометричними методами Ньютона і з гордістю згявляв1 що в його "Аналітичній механіці" практично відсутні будь-які креслення. "Я поставив собі за мету, — пише Лагранж, — звести теорію механіки й методи вирішення пов'язаних з нею задач до загальних формул, простий розвиток яких містить всі рівняння, необхідні для вирішення кожної задачі". Сам Лагранж характеризував свої методи в такий спосіб: вони "не вимагають ні побудов, ні геометричних або механічних міркувань; вони потребують тільки планомірного й одноманітного ходу алгебраїчних операцій. Усі прихильники аналізу (аналізу нескінченно малих) із задоволенням переконаються в тому, що механіка стає новою галуззю аналізу". Ця характеристика означає, що аналітична механіка Лагранжа є галуззю аналізу: вона є механікою, позбавленою "механічних міркувань", тому що в ній зазначено загальні методи складання рівнянь для будь-якої задачі механіки, після чого вирішення стає суто математичною проблемою. Як було зазначено вище, праця Ейлера — це механіка матеріальної точки й динаміка твердого тіла. Лагранж об'єднав механіку системи матеріальних точок і тіл та створив однаковий і загальний метод зведення механічних задач до вирішення відповідних математичних задач. При цьому він, природно, виходив з певних фізичних та експериментальних положень. "Механіка" Лагранжа поділяється на дві частини: статику й динаміку. Статика Лагранжа базується на принципі віртуальних (можливих) швидкостей. "Під віртуальною швидкістю потрібно розуміти швидкість, яку тіло, що перебуває в рівновазі, здатне набути в той момент, коли рівновага порушена, тобто ту швидкість, яку б тіло фактично мало в першу мить свого руху". Принцип віртуальних швидкостей Лаг-ранж формулює в такий спосіб: "Якщо яка-небудь система, що складається з будь-якої кількості тіл або точок, на кожну з яких діють будь-які сили, знаходиться в рівновазі, і якщо ця система набуває будь-якого малого руху, у результаті якого кожна точка проходить нескінченно малий шлях, що являє собою її віртуальну швидкість, то сума сил, помножених кожна відповідно на шлях, який проходить у напрямку сили точка, в якій цю силу прикладено, завжди дорівнює нулю, якщо малі шляхи, пройдені в напрямку дії сил, вважати позитивними, а пройдені в протилежному напрямку вважати негативними". Уводячи цей принцип, Лагранж посилався на дані досвіду. Він указував на загальний закон рівноваги машин: відношення сил обернене до відношення швидкостей точок, до яких вони прикладені, причому швидкості повинні вимірюватися в напрямку дії сил. Це положення, узяте в загальному вигляді, і є принципом віртуальних швидкостей, який "можна розглядати як своєрідну аксіому механіки. Утім, Лагранж навів і два докази принципу віртуальних швидкостей, один з яких заснований на "принципі блоків". У динаміці Лагранж спирається на два закони: закон інерції і закон додавання рухів (за правилом паралелограма). Другий закон механіки Ньютона Лагранж виводить із цих двох законів. Аналітична динаміка Лагранжа грунтується на загальній формулі, яку в наш час називають рівнянням Даламбера — Лагранжа, або загальним рівнянням динаміки. "Розвиток цієї формули, якщо при цьому взяти до уваги умови, які залежать від природи системи, дає всі рівняння, необхідні для визначення руху кожного тіла, після цього потрібно ці рівняння тільки інтегрувати, що є вже завданням аналізу". Спираючись на своє загальне рівняння динаміки, Лагранж вивів диференціальні рівняння руху у двох виглядах, що відповідають двом видам рівнянь статики. Це відомі рівняння руху Лагранжа першого й другого роду. Рівняння руху другого роду можна скласти, знаючи загальне вираження тільки для двох величин: кінетичної енергії системи і її потенційної енергії. Кількість цих рівнянь мінімальна, вона дорівнює числу ступенів свободи системи. Разом із тим рівняння Лагранжа є дуже загальними; їх можна використовувати для різних фізичних систем, якщо стан таких систем можна описати за допомогою значень їх кінетичної і потенційної енергій. Крім того, рівняння руху у формі Лагранжа другого роду мають визначену структуру з математичної точки зору. Тому завдання їх вирішення (інтегрування) у загальному вигляді є досить визначеним, щоб досліджувати його суто математично. У перші роки своєї наукової діяльності у зв'язку з роботами, пов'язаними з варіаційним численням, Лагранж багато уваги приділяв принципу найменшої дії. Він формулює цей принцип з повною визначеністю як суто механічну теорему, справедливу за певних умов. Це формулювання приводить до вже знайомого запису: перетворюється на нуль варіація суми величин виду де - маса однієї з точок системи, V - її швидкість, dS - елемент шляху, чи, інакше кажучи, нескінченно малий відрізок траєкторії точки . До цього Лагранж додає, що dS = V*dt, тому замість можна написатичи Тут під знаком інтеграла ми бачимо (подвоєну) живу силу точки, а так як нам потрібно взяти суму таких величин для всієї механічної системи, яка розглядається , то в підсумку під знаком інтеграла виявиться (подвоєна) жива сила всієї системи в будь-який момент. Таким чином, вважає Лагранж, розглянутий принцип зводиться, власне, до того, що сума живих сил усіх тіл від моменту, коли вони виходять із заданих точок, до того моменту, коли вони приходять в інші задані точки, є максимумом або мінімумом. Отже, цей принцип можна було б з повним правом назвати принципом найбільшої чи найменшої живої сили. На думку Лагранжа, таке формулювання мало б ту перевагу, що воно було б загальним як для руху, так і для рівноваги. Ірландський математик, механік та астроном У. Р. Гамільтон, оцінюючи внесок, зроблений Лагранжем у розвиток механіки після Галілея і Ньютона, писав: "З усіх послідовників цих блискучих учених Лагранж, мабуть, більше, ніж який-небудь інший аналітик, зробив для того, щоб розширити й надати стрункості подібним до дедуктивних дослідженням, довівши, що найрізноманітніші наслідки, що стосуються руху системи тіл, можна вивести з однієї основної формули. При цьому краса методу настільки відповідає достоїнству результату, що ця велика робота перетворюється на своєрідну математичну поему". Цією поемою завершився плідний період розробки основ теоретичної механіки. Механіка стає зрілою, цілком сформованою галуззю природознавства. Список використаної літератури 1. Абачиеп С. К. Концепции современного естествознания (в 2-х частях). Балашиха. - 1988. - I ч.: 150 с, II ч.: 190 с. 2. Ампер А. Электродинамика. М.: ИЛ. — 1954. — 369 с. 3. Античная цивилизация. — М.: Наука. — 1973. — 269 с. 4. Аристотель. Соч. В 4-х тт. Т. 4. - М.: Мысль. - 1983. - 828 с. 5. Арцимович Л. А. Управляемые термоядерные реакции. М.: Гос. изд. физ.-мат. лит. - 1961.-468 с.
1 2 3 4 5 Категория: Філософія \| Добавил: Aspirant (01.05.2013)
Просмотров: 313 \| Комментарии: 1 \| Рейтинг: 0.0/0

Всего комментариев: 0


Имя *:
Email *:

Код *: