Реферат на тему: Шпора з економетрики - Економічні теми - Реферати - Каталог статей

Реферат на тему: Шпора з економетрики. 1.Що таке економетрика Економетрика – це галузь економічної теорії, яка вивчає моделі економічних систем у формі, що уможливлює перевірку цих моделей на адекватність засобами математичної статистики. Мета економетрики – здійснювати емпіричну перевірку положень економічної теорії, підтверджуючи чи відхиляючи останні. Цим економетрика відрізняється від математичної економіки, зміст якої полягає виключно у застосуванні математики, і теоретичні положення якої не обов’язково потребують емпіричного підтвердження. Економетрика є результатом синтезу економічної теорії, математичної статистики та економічної статистики. Застосування статистичних методів до аналізу економічних даних має давню історію. Стіглер зауважує, що перша «емпірична» крива попиту була опублікована Чарльзом Дейвенентом у 1699 році, а перше сучасне статистичне дослідження попиту було виконано італійським статистиком Родульфо Еніні у 1907 році. Важливим поштовхом до розвитку економетрики було заснування у 1930 році у США Економетричного Товариства і публікація часопису Econometrica (який, до речі, виходить і досі). Економічні і економетричні моделі Економічна модель являє собою набір припущень, які приблизно описують поведінку економіки (або сектора економіки). Економетрична модель складається з таких частин: 1). Набір рівнянь поведінки, які виводяться з економічної моделі. Ці рівняння включають деякі змінні, значення яких спостерігаються, а також «збурення», які відтворюють ефект від змінних, не включених до моделі у явному вигляді, та ефект від непередбачуваних подій. 2). Опис імовірнісного розподілу «збурень». Економетричні моделі мають стохастичний характер. Розглянемо співвідношення між споживанням С та доходом Y у такому вигляді: С =  + Y + , (В.1) де  – збурення, або стохастична складова моделі,  і  – невідомі параметри, які можна оцінити за допомогою методів математичної статистики. Стохастичний характер економетричних моделей дозволяє використовувати теорію статистичних висновків для перевірки цих моделей на адекватність. Перевірка складається з двох етапів: статистичного і економічного. На статистичному етапі ми перевіряємо, чи виконуються вимоги, які накладено на стохастичну складову  при формулюванні моделі. На економічному етапі ми перевіряємо, чи узгоджуються знайдені оцінки параметрів з положеннями економічної теорії. Наприклад, теорія споживання стерджує, що зі зростанням доходу споживання зростає, але не в такій мірі як доход. Звідси випливає, що модель (В.1) коректна, коли в ній 0 <  < 1. Таким чином, економетричні методи дозволяють не тільки встановлювати кількісні зв’язки між економічними змінними, але й робити висновки про коректність одержаних моделей. В першому розділі книзі подано огляд результатів стосовно базової економетричної моделі – моделі лінійної регресії, в тому числі теми, які традиційно не включаються до елементарних курсів економетрики: асимптотична теорія, автокореляція внаслідок неправильної специфікації моделі, спатіальна автокореляція, консистентні в умовах гетероскедастичності оцінки коваріаційної матриці для МНК, метод максимальної правдоподібності включаючи оцінювання коваріаційної матриці і три основні принципи перевірки гіпотез. Розділ 2 присвячений моделям з лаговим змінним. В Розділі розглядаються (більш грунтовно, ніж в елементарних курсах) системи одночасних рівнянь, а в Розділі 4 – моделі з обмеженою залежною змінною і моделі з панельними даними. В Додатку 2. Приведено коротке керівництво користувача програми Eviews. 2. Проста лінійна регресія Припустимо, що існують дві змінні x i y, де x - незалежна змінна (регресор), y - залежна змінна. Співвідношення між цими змінними позначимо: y = f (x). Будемо розрізняти детерміновані і статистичні співвідношення. При статистичному співвідношенні кожному значенню x відповідає не єдине значення y, але залежну змінну y можливо точно описати у імовірнісних термінах. Припустимо, що функція f(x) лінійна за x, тобто f(x) =  + x, а співвідношення між x та y є статистичним, а саме y =  + x + , (1.1) де доданок  називається збуренням або похибкою і має відомий імовірносний розподіл (тобто є випадковою величиною). В рівнянні (1.1)  + x є детермінованим компонентом, збурення  є випадковим або стохастичним компонентом;  і  називаються регресійними коефіцієнтами або параметрами регресії, які потрібно оцінити на основі даних про x та y. Нехай ми маємо n пар значень . Кожну пару будемо називати спостереженням. Ми можемо записати рівняння (1.1) у вигляді yi =  + xi + i (1.2)Наша мета - знайти оцінки невідомих параметрів  та  в рівнянні (1.2) на основі n спостережень x та y. Щоб це зробити ми повинні накласти деякі умови щодо збурень i. 3.Властивості ЗБУРЕНЬ 1. Нульове середнє: Ei = 0, . 2. Рівність дисперсій (гомоскедастичність): Di = E = 2 = const, . 3. Незалежність збурень: і та j незалежні при . Зокрема, cov(i, j ) = Eij = 0 при . 4. Незалежність збурень та регресора: xi та j незалежні для всіх i та j. Якщо xi вважаються невипадковими, то дане припущення виконано автоматично. В деяких випадках будемо накладати додаткове припущення (ми будемо вказувати в тексті, для виконнання яких результатів воно необхідно): 5. Нормальність. Збурення i нормально розподілені для всіх i. Взявши до уваги припущення 1-3, ми можемо сказати, що i – незалежні нормально розподілені випадкові величини з нульовим математичним сподіванням і однаковими дисперсіями 2, або . Отже, модель простої лінійної регресії описується за допомогою рівнянь (1.2), збурення в яких задовольняють припущенням 1 – 5. Оскільки Ei = 0, то з рівняння (1.2) маємо E(yi) =  + xi . Останній вираз називається популяційною функцією регресії. Таким чином, популяційна функція регресії – функція умовного математичного сподівання. Якщо замінити значення параметрів їх оцінками, одержимо вибіркову функцію регресії. Популяційна регресійна функція дає усереднене, або закономірне значення незалежної змінної, яке відповідає даному значенню незалежної змінної. Збурення можна інтерпретувати як відмінність поведінки залежної змінної від усередненої в кожній конкретній ситуації. Друге припущення означає,що для кожного спостереження дія випадкових факторів в середньому однакова . Третє припущення означає, що для кожного спостереження випадкові фактори діють незалежно 4. Знаходження оцінок параметрів регресії МНК Нехай та –деякі оцінки параметрів  та . Запишемо рівняння вибіркової регресії . Тоді є оцінкою Eyi, побудованою на основі вибіркової регресії. Позначимо через різницю між значенням y, яке спостерігалось, і обчисленим з регресії. Оцінки методу найменших квадратів (скорочено – МНК-оцінки) знаходяться з умови мінімізаціїї за всіма можливими значеннями та виразу (1.3) Позначимо на координатній площині точки і побудуємо графіки прямих для різних значень і . Знаходження оцінок методом найменших квадрвтів означає пошук прямої, яка знаходиться найближче до даних точок у тому розумінні, що сума квадратів відстаней по вертикалі від даних точок до прямої буде найменшою. Обгрунтування такого вибору методу побудови оцінок полягає в їх оптимальних статистичних властивостях, які сформульовано вище. Щоб мінімізувати вираз (1.3), запишемо необхідну умову екстремуму, тобто прирівняємо похідні відносно та до нуля. Маємо , звідки (1.4) і , звідки (1.5) Система рівнянь (1.4) і (1.5) називається системою нормальних рівнянь. Уведемо такі позначення: , , , , Нехай Sxx> 0. Запишемо розв’язок системи нормальних рівнянь відносно за правилом Крамера: (1.6). Розділимо чисельник і знаменник виразу (1.6) на n. Враховуючи уведені позначення, остаточно одержимо: . Розділимо перше нормальне рівняння (1.4) почленно на n. Маємо: . Надалі будемо позначати МНК-оцінки параметрів  та  латинськими літерами a та b. Отже, МНК-оцінки параметрів моделі простої лінійної регресії знаходяться за фомулами: (1.7) Якщо обчислити матрицю других похідних для Q, то можна побачити, що ця матриця додатньо визначена, отже значення (1.7) дійсно мінімізують (1.3). Рівняння вибіркої регресії приймає вигляд . (1.8) З першого нормального рівняння випливає, що графік вибіркової регресійної прямої (1.8) проходить через точку середеніх значень залежної та незалежної змінних. Рівняння (1.8) дає нам уявлення про характер залежності (точніше детермінованої її частини) між змінними x та y. 5. Властивості залишків МНК Позначимо через різниці між фактичними та теретичними, тобто обчисленими з рівняння вибіркої регресії (1.8) значеннями залежної змінної: (1.9) – залишки методу найменших квадратів (аналогічно тому, як ми домовились щодо позначень оцінок методом найменших квадратів, замість загального позначення залишків , для залишків методу найменших квадратів будемо використовувати літеру e). Залишки можна вважати вибірковими, або емпіричними аналогами збурень. З урахуванням уведених позначень перше нормальне рівняння запишеться у вигляді (1.10). Отже, сума залишків методу найменших квадратів дорівнює нулю. Друге нормальне рівняння прийме вигляд (1.11). Або, якщо позначити через x вектор значень незажної змінної, а через e вектор залишків: , ,то . Тобто, залишки методу найменших квадратів ортогональні до регресора. 6. Розклад дисперсії залежної змінної. Коефіціент детермінації З рівнянь (1.8) та (1.9) випливає, що (1.12) Запишемо другу з формул (1.7) у вигляді (1.13) Від кожного з рівняннь (1.12) віднімемо рівняння (1.13): (1.14) Кожне з рівнянь (1.14) піднесемо до квадрату і додамо почленно. Маємо , (1.15) внаслідок (1.10) та (1.11). Позначимо . З (1.10) випливає, що . Тому . Порівнюючи останнє рівняння з (1.14), бачимо, що , отже . Уведемо такі позначення: – загальна сума квадратів, – пояснена сума квадратів, або сума квадратів регресії –сума квадратів залишків. Загальна сума квадратів пропорційна до вибіркової дисперсії залежної змінної. Пояснена сума квадратів пропорційна до вибіркової дисперсії незалежної змінної. Отже, дисперсія залежної змінної складається з двох частин. Перша виникає завдяки розкиду значень незалежної змінної. Тобто, ця частина пояснюється за рахунок моделі (звідси і назва – пояснена сума квадратів). Друга частина – сума квадратів залишків – виникає внаслідок збурень і не пояснюється за рахунок моделі. Записавши співвідношення (1.15) з урахуванням уведених позначень, одержимо формулу розкладу дисперсії: (1.16). Коефіціент детермінаціїї визначається як частка поясненої і загальної сум квадратів (1.17). Для обчислення коефіціента детермінації можна користуватись такими формулами . (1.17а) Коефіціент детермінації є частиною дисперсії залежної змінної , яка пояснюється за рахунок моделі, або, іншими словами, завдяки мінливості незалежної змінної. Коефіціент детермінації є мірою тісноти саме лінійного звязку між x та y. Коефіціент детермінації завжди знаходиться в межах від нуля до одиниці. Чим ближче до 1, тим точніше x пояснює y. Якщо = 1, це означає, що всі значення x та y лежать на одній прямій. Якщо = 0 ,то лінія регресії – горизонтальна пряма; це означає відсутність (лінійного) звязку між змінними. Коефіціент детермінації є мірою згоди регресії. Проілюструємо сказане графічно. На Рис. 1.2 зображено три набори даних по 100 спостережень в кожному, утворені за допомогою датчика випадкових чисел, разом з вибірковими регресійними прямими, знайденими за домогою методу найменших квадратів. В кожному випадку розраховано коефіцієнт детермінації. 7. Статистичні в-ті оцінок МНК Оцінки методу найменших квадратів є незміщеними : Eb = , Ea =  . Дисперсії та коваріація оцінок методу найменших квадратів обчислюються за наступними формулами: (1.18) Наведені формули не можна використовувати для перевірки гіпотез та інтервального оцінювання, оскільки до них входить невідомий параметр – дисперсія збурень 2 . Отже, нам потрібно вміти знаходити її оцінку. Має місце наступний результат: статистика є незміщеною оцінкою 2. Якщо збурення нормально розподілені, то a та b також нормально розподілені. Величина має 2 - розподіл з n - 2 ступенями свободи. Більше того, випадкова величина RSS не залежить від a та b. Далі ми будемо припускати, що збурення нормально розподілені. Як відомо, якщо випадкові величини 1~N(0,1), 2~ незалежні) , то має розподіл Стьюдента з p ступенями свободи. Оскільки , то має стандартний нормальний розподіл. Крім того, і ці випадкові величини незалежні. Отже, частка має розподіл Стьюдента з n - 2 ступенями свободи. Величина є оцінкою дисперсії b, а – оцінкою середньоквадратичного відхилення, або, коротко, стандартною похибкою оцінки b. Уведемо позначення SE(b) = (від англійського standard error - стандартна похибка). Маємо (1.19) 8.Перевірка гіпотез про коефіцієнт нахилу регресії. Стандартною процедурою є перевірка гіпотези про те, що коефіцієнт нахилу регресійної прямої  дорівнює нулю. Прийняття цієї гіпотези означає, що незалежна змінна не має впливу на залежну в рамках лінійної моделі. Не виключено, що насправді між змінними існує залежність, але виражена іншою функціональною формою. Статистика для перевірки гіпотези має вигляд (1.20) Значення цієї t-статистики, як правило, автоматично підраховуються в комп’ютерних програмах з регресійного аналізу. Для перевірки гіпотези H0:  = 0 використовують наступну статистику (1.21) За вибраним рівнем значущості  в таблиці розподілу Стьюдента з n-2 ступенями свободи знаходимо критичне значення tкр. Якщо t < tкр, то гіпотеза H0 приймається. Якщо t  tкр, то гіпотеза H0 відхиляється. Інтервальне оцінювання Інтервальна оцінка параметра  з рівнем довіри 1- (не плутати з постійним доданком у регресії) знаходиться за наступною формулою: , (1.22) де значення tкр знаходиться за вибраним  в таблиці розподілу Стьюдента з n-2 ступенями свободи.9. Перевірка значущості регресії Значущість регресії означає, що незалежні змінні впливають на залежну змінну. Для простої лінійної регресіі це еквівалентно тому, що коефіцієнт нахилу не дорівнює нулю (тобто коли гіпотеза про рівність  нулю відхиляється) . Якщо b = 0, то = 0. Тому логічно будувати критерій, який грунтується на значенні коефіцієнта детермінації. Дійсно, можна показати, що (1.23) коли  = 0, де через F1,n–2 позначено розподіл Фішера з 1, n–2 ступенями свободи. За вибраним рівнем значущості  в таблиці розподілу Фішера з 1, n-2 ступенями свободи знаходимо критичне значення F кр. Якщо FОцінка методу найменших квадратів коефіцієнтів моделі моделі множинної лінійної регресії знаходиться за формулою: (1.34) Рівняння вибіркої регресії приймає вигляд . (1.35), або, у випадку регресії з костантою, (1.36). Рівняння вибіркої регресії є рівнянням лінійної функції багатьох змінних. 13. Властивості залишків МНК Нехай . Позначимо . Використовуючи введені векторно-матричні позначення, можна записати . Вектор залишків методу найменших квадратів e визначається як Зміст поняття залишків такий же, як і в моделі простої лінійної регресії. Перепишемо систему нормальних рівнянь у такому вигляді: , або XTe = 0. (1.37) Ми бачимо, що вектор залишків ортогональний до кожного стовпчика матриці X. Згадаємо, що j-й стовпчик цієї матриці утворюють значення j-го регресора. Отже, залишки методу найменших квадратів ортогональні до регресорів. Якщо ми розглядаємо модель з константою, то перший стовпчик матриці X складається з одиниць, і з рівняння (1.37) випливає, що (1.38) В моделі з константою сума залишків методу найменших квадратів дорівнює нулю. Оскільки , то (1.39) внаслідок (1.39). Крім того вектор є лінійною комбінацією стовпчиків матриці X, тобто регресорів. Разом з (1.39) це дозволяє дати наступну геометричну інтерпретацію вектору і залишкам: є ортогональною проекцією на гіперплощину, породжену регресорами, а вектор залишків є проектором. Зі співвідношення (1.39) випливає ще один важливий наслідок: в моделі з костантою регресійна гіперплощина проходить через точку, координати якої дорівнюють середнім значення незалежних змінних. 14.Розклад дисперсії залежної змінної. Коефіцієнт детермінації В цьому параграфі ми розглянемо моделі з константою. Проаналізуємо суму квадратів відхилень значень залежної змінної від середнього – загальну суму квадратів: (1.40) внаслідок (1.38), (1.39) і з урахуванням того, що = . Як і раніше, – пояснена сума квадратів, –сума квадратів залишків. Загальна сума квадратів пропорційна до вибіркової дисперсії незалежної змінної. Отже, формула розкладу дисперсії має місце і у випадку множинної регресії (1.41). Коефіцієнт множинної детермінаціїї (або, коротко, коефіцієнт детермінації визначається як частка поясненої і загальної сум квадратів (1.42). Коефіцієнт множинної детермінації показує, яка частина дисперсії залежної змінної пояснюється за рахунок моделі, або, іншими словами, незалежними змінними в сукупності. Підкреслимо, що коефіцієнт детермінації є мірою тісноти саме лінійного звязку між залежною та незалежними змінними. Коефіцієнт детермінації завжди знаходиться в межах від нуля до одиниці. Чим ближче до 1, тим тісніше звязок. Якщо = 1, це означає, що всі значення y належать гіперплощині, породженій стовпчиками матриці X. Якщо = 0, то лінійний звязок між змінними відсутній. Коефіцієнт детермінації використовується як міра згоди і для множинної регресії. Зауваження 1 Без використання додаткової інформаціїї не можна робити висновків про те, яке значення вважати великим. Для деяких даних, наприклад, значення 0.8 може бути недостатнім, а в інших випадках величина 0.4 може бути прийнятною. Зауваження 2 В моделях без константи коефіцієнт детермінації не обов’язково знаходиться в межах від нуля до одиниці, оскількі подвоєний добуток у (1.40) не дорівнює нулю. В таких моделях різні способи визначення дають різні результати, і коефіцієнт детермінації важко інтерпретувати. Ні в якому разі не можна співвідносити моделі з константою і без константи на підставі порівняння коефіцієнтів детермінації. Взагалі, можна дати таку рекомендацію. Якщо немає економічних підстав для вибору регресійної функціі у вигляді без константи, то бажано розглядати модель з константою. 15. Статистичні вл-ті оцінок МНК Обчислимо математичне сподівання оцінок методу найменших квадратів. Підставимо формулу (1.30) до формули (1.34): 1.43) Маємо , оскільки лінійний множник можна виносити за знак математичного сподівання, і E = 0. Отже, МНК-оцінки є незміщеними. Знайдемо коваріаційну матрицю оцінки b: Db = E(b- Eb)(b- Eb)T = E(b-)(b-)T = = . Ми скористались властивостями математичного сподівання, добутку транспонованих матриць, формулою (1.31), а також тим, що матриця XTX, а отже і обернена до неї, симетричні. (1.44) Позначимо матрицю через . Тоді (1.45) Наведені формули не можна використовувати для перевірки гіпотез та інтервального оцінювання, оскільки до них входить невідомий параметр – дисперсія збурень 2 . Отже, нам потрібно вміти знаходити її оцінку. Має місце наступний результат: статистика , (1.46)де k – кількість регресорів, включаючи константу, є незміщеною оцінкою 2. Якщо збурення нормально розподілені, то b має багатовимірний нормальний розподіл, математичне сподівання і коваріаційна матриця якого обчислюються за формулою (1.44). Зокрема, . Величина має 2 - розподіл з n - k ступенями свободи і не залежить від b. Оцінка коваріаційної матриці коефіціентів методу найменших квадратів одержується підстановкою до формули (1.44) виразу (1.46) замість дисперсії збурень 2: , (1.47) зокрема . Позначимо через s.e.(bi) оцінку середньокватратичного відхилення коефіціента bi. (стандартнy похибку) Розмірковуючи так, як у випадку простої регресії, приходимо до висновку, що (1.48) Оцінки методу найменших квадратів є лінійними у тому розумінні, що b є лінійною функцією y. Наступна теорема встановлює оптимальні властивості оцінки методу найменших квадратів. 16. Теорема Гауса-Маркова 1) Нехай припущення про нормальність збурень не накладається. Тоді МНК-оцінки мають мінімальну коваріаційну матрицю в класі незміщених лінійних оцінок. 2)Припустимо, що збурення нормально розподілені. МНК- оцінки мають мінімальну коваріаційну матрицю в класі усіх незміщених оцінок. Зокрема, оцінки індивідуальних коефіціентів bi мають найменші дисперсії серед оцінок відповідних класів. 17. Перевірка гіпотез про коефіціенти регресії. Стандартною процедурою є перевірка гіпотези про те, що коефіціент i дорівнює нулю. Прийняття цієї гіпотези означає, що незалежна змінна xi не має впливу на в рамках лінійної моделі. Статистика для перевірки гіпотези має вигляд (1.49) Значення цієї t -статистики, як правило, автоматично підраховуються в комп’ютерних програмах з регресійного аналізу. Для перевірки гіпотези H0: i = використовують наступну статистику (1.50) За вибраним рівнем значущості  в таблиці розподілу Стьюдента з n-k ступенями свободи знаходимо критичне значення tкр. Якщо t < tкр, то гіпотеза H0 приймається. Якщо t  tкр, то гіпотеза H0 відхиляється. Надійні інтервали для коефіцієнтів регресії Інтервальна оцінка параметра i з рівнем довіри 1 –  знаходиться за наступною формулою: . (1.51) де значення tкр знаходиться за вибраним рівнем значущості  в таблиці розподілу Стьюдента з n-k ступенями свободи. 18. Перевірка значущості регресії Значущість регресії означає, що незалежні змінні в сукупності впливають на залежну змінну. Як нульова гіпотеза для перевірки приймається протилежне тведження, а саме H0: 1=2=...= k-1.= 0. Можна показати, що коли гіпотеза H0 вірна, то (1.52) За вибраним рівнем значущості  в таблиці розподілу Фішера з k–1, n–2 ступенями свободи знаходимо критичне значення F кр. Якщо FОскільки середні значення стандартизованих змінних дорівнюють нулю, то модель (1.55) не містить константи. Оцінки коефіцієнтів при стандартизованих змінних обчислюються за наступними формулами : , . Зробимо такі зауваження. По-перше, оскільки середньоквадратичні відхилення мають ті самі розмірності, що і змінні, стандартизовані змінні є безрозмірними величинами. По-друге, середньоквадратичне відхилення можна інтерпретувати як типову для даної сукупності спостережень величину зміни змінної. Отже, можна сказати, що коефіцієнти стандартизованої регресії є мірою впливу незалежних змінних в термінах типової величини іх зміни. 21. Коефіцієнти еластичності. Нехай змінна y залежить від змінних x1, ...,xk-1: y = f(x1,...,xk-1). Коефіцієнт еластичності змінної y відносно xi визначається так: , (1.56) Найчастіше використовують коефіцієнти еластичності попиту відносно ціни та доходу в моделях попиту. Коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків зміниться y у відповідь на зміну xi у 1 відсоток за умови, що решта змінних залишиться постійною. Застосовуючи означення (1.56) до рівняння вибіркової регересії (1.36), одержимо формули для обчислення вибіркових коефіцієнтів еластичності , (1.57) З формули (1.57) випливає, що коефіцієнти еластичності залежать від того, при якому значенні змінної вони обчислюються. Стандартним є обчислення коефіцієнтів еластичності при середніх значеннях змінних: , (1.58) Відзначимо, що для порівняння не існує критерія, придатного в усіх ситуаціях. При виборі критерія треба враховувати мету дослідження, використовувати знання з тієї галузі економічної теоріїї, яка вивчає досліджуваний об’єкт. Наприклад, при аналізі виробничої функції можна робити порівняння коефіцієнтів еластичності відносно праці та капіталу з урахуванням вартості зміни на один відсоток величини капіталу та обсягу трудових ресурсів. 22. Моделі, які зводяться до моделі лінійної регресії Розглянемо виробничу функцію Коба–Дугласа: Y = ALC, (1.59) де Y–валовий випуск, L–обсяг трудових ресурсів, С–обсяг капіталу (виробничих фондів), A, ,  – параметри. Коефіцієнт пропорційності A відображає рівень технології. Парамери  та  є коефіцієнтами еластичності відносно праці та капіталу (отже, функція Коба–Дугласа є виробничою функцією зі сталою еластичністю). Прологарифмувавши рівняння (1.59), маємо: y = a + l + c, (1.60) де a = lnA, l = lnL, c = lnC. Якщо ввести до рівняння (1.60) стохастичний доданок, то одержимо модель лінійної регресії: y = a + l + c +. (1.61) Щоб перетворити вихідну модель (1.59) на стохастичну, обчислимо експоненту від обох частин рівності (1.61): Y = ALCe. (1.62) Ми бачимо, що модель (1.62) можна звести до моделі лінійної регресіі. Аналогічно можна вивчати досить широкий клас моделей, які за допомогою перетворень змінних та рівнянь можна звести до моделі лінійної регресії. Широковживаним є приклад поліноміальної регресії: . 23. Фіктивні змінні. У попередніх розділах ми розглядали змінні, які можна вимірювати за допомогою кількісних шкал (вартість капіталу, рівень інфляції, обсяг попиту і т.ін.). Однак, у багатьох випадках на поведінку змінної, яку ми вивчаємо впливають якісні фактори, наприклад, наявність або відсутність вищої освіти, статеві, расові відмінності. Для врахування дії подібних чинників застосовують фіктивні змінні. Фіктивні, або бінарні змінні можуть приймати два значення: 0 та 1. Розглянемо декілька прикладів. Нехай ми вивчаємо залежність заробітної платні від віку та рівня освіти за допомогою такої моделі , де y – величина зарплатні, x1 – вік у роках, x2 – рівень освіти, який вимірюється у роках навчання. Припустимо, що нам потрібно виявити, чи існує відмінність в оплаті праці між чоловіками і жінками. Для цього ми утворюємо фіктивну змінну D : D = 1 для чоловіків і D = 0 для жінок. Модель набуде вигляду . Величина коефіціента 3 показує відмінність у седньому рівні заробітної платні між чоловіками і жінками, які мають однаковий вік та рівень освіти. Для того, щоб відтворити в моделі вплив якісного фактора, який може приймати m рівнів, в модель потрібно включити m–1 фіктивну змінну. Розглянемо модель, яка вивчає ринкову вартість квадратного метра житла: . На ціну квадратного метра житлової площі впливає, на якому поверсі знаходиться квартира, причому важливо, чи є поверх першим, останнім, або ні першим, ні останнім. Тобто фактор «поверх» приймає три значення. Отже, ми формуємо дві фіктивні змінні D1 і D2: Тепер модель має вигляд .За такого вибору фіктивних змінних середня ціна квадратного метра квартири, розташованої на «середньому» поверсі є базовою. За умови рівності змінних (факторів) x1, ...,xk-1 середня ціна квадратного метра квартири, розташованої на першому поверсі відрізняється від базового рівня на величину 1, а квартири, розташованої на останньому поверсі – на величину 2. Фіктивні змінні також використовують для врахування cезонного ефекту. Наприклад, залежність між змінними x та y на основі щоквартальних даних можна досліджувати за допомогою такої моделі: y= + x + 1D1 + 2D2 + 3D3 + , (1.63) де D1, D2, та D3 – сезонні фіктивні змінні, які визначаються наступним чином: При наявності щомісячних даних використовують 11 сезонних фіктивних змінних: . . . 23. Перевірка гіпотез про лінійні обмеження на параметри Часто з економічних міркувань випливають більш складні обмеження на параметри регресії. Розглянемо кілька прикладів. Неважко показати, що економічна система, яка описується функцією Коба–Дугласа (1.59) має нейтральний ефект від масштабу (ресурси мають постійну ефективність), якщо  + = 1, негативний ефект від масштабу (ресурси мають спадну ефективність), якщо  + < 1 і позитивний ефект від масштабу (ресурси мають зростаючу ефективність), якщо  + > 1. Постає питання: чи в даній економічній системі має місце нейтральний ефект від масштабу? Щоб відповісти на це питання, потрібно в моделі лінійної регресії (1.61) перевірити гіпотезу H0:+=1. (1.64) Гіпотеза (1.64) є прикладом гіпотези про лінійне обмеження на параметри регресії, яка у загальному випадку записується так: , де rj, та q – відомі числа, Нерідко виникає потреба перевірити гіпотезу про те, що кілька лінійних обмежень виконуються водночас, іншими словами, гіпотезу про сукупність лінійних обмежень. Так, відсутність сезонного ефекту в моделі (1.63) означає, що коефіціенти при сезонних фіктивних змінних дорівнюють нулю водночас. Отже перевірка твердження про відсутність сезонного ефекту зводиться до перевірки наступної гіпотези: H0: . У матричному вигляді гіпотеза про сукупність лінійних обмежень записується так, R=q, де R i q відомі. Кількість рядків матриці R дорівнює кількості обмежень, а кількість стовпчиків – кількості компонент . Оскільки рівняння вібіркової регресії є рівнянням лінійної функції, то модель лінійної регресії має наступну властивість. При зміні xj на одиницю y зміниться на bj, якими б не були значення решти змінних. Оскільки різні фактори часто взаємодіють між собою, дана властивість не завжди є реалістичною. Тому, щоб відобразити цю взаємодію, доцільно також спробувати включити до моделі добутки вихідних незалежних змінних як нові незалежні змінні. Наприклад, разом з моделлю. можна розглянути модель . (1.65) Якщо в моделі (1.65) x1 зміниться на одиницю, а x2 та x3 залишаться постійними, то y зміниться на 1 + 1 x2 + 2 x3. Отже, величина зміни незалежної змінної залежить від значень x2 та x3. Цей ефект виникає внаслідок того, що різні незалежні змінні взаємодіють між собою. Щоб перевірити, чи є взаємодія несуттєвою, потрібно перевірити гіпотезу H0: . Ми побачили, як виникають задачі перевірки гіпотез про лінійні обмеження. Тепер перейдемо до їх розв’язку. Припустимо, ми маємо рівняння множинної регресії: . (1.66) Нам потрібно перевірити гіпотезу про обмеження: H0: . (1.67) У матричному вигляді гіпотеза формулюється так: R=q, де , , . Гіпотеза перевіряється за допомогою критерія Вальда (див. параграф 1.6.5). Статистика, розподіл якої за умови вірності обмежень є розподілом Фішера (кількості степенів свободи = кількість обмежень,r, і n-k), має вигляд = , (1.68) В залежності від наявного програмного засобу зручніше використовувати перший чи другий варіант формули. Опишемо, як скористатись другим способом. Для цього треба знайти суму квадратів залишків RSSU у вихідній моделі та суму квадратів залишків RSSR y моделі з обмеженнями. Запишемо обмеження у такому вигляді: та . Підставимо ці співвідношення до рівняння (1.66) . (1.69) Перенесемо в (1.69) всі відомі величини до правої частини рівняння і зберемо подібні при параметрах регресії в його лівій частині: Щоб знайти суму квадратів залишків RSSR y моделі з обмеженнями, потрібно оцінити регресію змінної відносно і константи. 24.Перевірка гіпотез про стійкість моделіПрипустимо, що ми хочемо побудувати модель деякої економічної системи за даними, що є часовими рядами. Нехай, наприклад, потрібно оцінити макроекономічну виробничу функцію для деякої країни за щорічними даними, причому на протязі періоду, який досліджується, відбулась економічна реформа. Природньо постає питання: чи маємо ми право користуватись єдиною моделлю на протязі всього періоду часу. Відповідь на подібні питання можна одержати за допомогою дослідження моделі на стійкість.
1 2 3 4 5 Категория: Економічні теми \| Добавил: Aspirant (13.06.2014)
Просмотров: 660 \| Рейтинг: 0.0/0

Всего комментариев: 0


Имя *:
Email *:

Код *: